Polynomials for class IXth CBSE
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Polinomials |
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Chapter - 02 |
We will cover the some
previous class topics and thereafter coming topics as per the syllabus:
1. Introduction
2. Polynomial in one Variable
3. Polynomial – Terminology
4. Classification of Polynomials in One
Variable Based on Degree
4.1 Zero polynomial or constant
polynomial
4.2 Linear Polynomial
4.3 Quadratic Polynomial
4.4 Cubic Polynomial
5. How to find monomial?
6. Difference between Monomial, Binomial
and Trinomial.
7. Theorems:
7.1
Remainder Theorem
7.2
Factor Theorem
8. Algebraic Identities:
9. Frequently asked Questions with
answers.
हम कुछ पिछली कक्षा के विषयों को कवर करेंगे और उसके बाद पाठ्यक्रम के
अनुसार आने वाले विषयों को कवर करेंगे: एक चर बहुपद में
1. 1. परिचय
2. 2. बहुपद - एक चर में
3. 3. बहुपद का शब्दावली
4. 4. वर्गीकरण डिग्री
4.1 शून्य बहुपद या निरंतर बहुपद
4.2 रैखिक बहुपद
4.3.
द्विघात बहुपद
4.4 क्यूबिक बहुपद के आधार पर
5.
Monomial कैसे खोजें?
6.
Monomial कैसे खोजें? Monomial, Bionomial और Trinomial के बीच अंतर।
7. प्रमेय:
7.1 शेषफल प्रमेय
7.2 कारक प्रमेय
8. बीजगणितीय पहचान:
9. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-उत्तर।
1. Introduction:
As we have learnt in the previous class
(VIII) about the expression. Let’s recall, algebraic expressions, their
addition, subtraction, multiplication and division in earlier classes. You also
have studied how to factorise some algebraic expressions.
You may recall the algebraic identities:
जैसा कि हमने अभिव्यक्ति के बारे में पिछली कक्षा
(VIII) में सीखा है। आइए याद करते हैं, बीजगणितीय अभिव्यक्ति, उनके जोड़, घटाव, गुणा और पहले की कक्षाओं में विभाजन। आपने यह भी
अध्ययन किया है कि कुछ बीजीय अभिव्यक्तियों को कैसे फैक्टर किया जाए।
आप बीजगणितीय पहचान को याद कर सकते हैं:
(x + y)2 = x2 +
2xy + y2
(x – y)2 = x2 –
2xy + y2 and
x2 – y2 = (x +
y) (x – y).
2. Polynomials in One VARIABLE:
In Mathematics, a polynomial is an
expression that consists of variables, coefficients and constants, which are
connected by mathematical operations, such as addition, subtraction,
multiplication and division. “Polynomials in one variable is an algebraic
expression that consists of one variable in it.”
Some of the examples of polynomials in
one variable are given below:
गणित में, एक बहुपद एक
अभिव्यक्ति है जिसमें चर,
गुणांक और स्थिरांक होते हैं, जो गणितीय संचालन से जुड़े होते हैं, जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन। "एक चर में बहुपद एक बीजीय
अभिव्यक्ति है जो
इसमें एक चर होता है"।
ü x+2
ü x2+7x+20
ü n3+12n2-n
3. Polynomials – important Terminologies
The different terms related to
polynomials are given below:
Terms: In an expression, a term can
be a variable or constant or product of variable and constant.
बहुपद से संबंधित विभिन्न शब्द नीचे दिए गए हैं: शर्तें:
एक अभिव्यक्ति में, एक शब्द एक चर या स्थिरांक या चर और स्थिरांक का उत्पाद
हो सकता है।
Coefficient: A coefficient is a numerical value,
which is written along with a variable.
गुणांक: एक गुणांक एक संख्यात्मक मान है, जिसे एक चर के साथ लिखा जाता है।
Variable: A variable is a letter that
represents the unknown value in an expression.
चर: एक चर एक अक्षर है जो एक अभिव्यक्ति में अज्ञात
मान का प्रतिनिधित्व करता है।
Exponent: Power on the variable in a polynomial is known as exponent
(degree)
X3, x2, x6,
Here the exponent is 3, 2, & 6
and x is a variable of monomial
घातांक: एक बहुपद में चर पर शक्ति को घातांक (डिग्री)
X3, x2, x6 के रूप में जाना जाता है, यहाँ घातांक 3, 2, और 6 है और x मोनोमियल का एक चर है
Constant: A
constant is a number, whose value never changes in an expression.
स्थिरांक: एक स्थिरांक एक संख्या है, जिसका मान कभी भी अभिव्यक्ति में नहीं बदलता है।
Consider an example, 15x+20
Here,
The variable is x, coefficient is 15,
constant is 20, and terms are 15x and 20.
एक उदाहरण पर विचार करें,
15x +20
यहाँ, चर x है, गुणांक 15 है, स्थिरांक 20 है, और पद 15x और 20 हैं।
4. Classification of Polynomials in One
Variable Based on Degree
The polynomials in one variable can
be classified based on the degree of a polynomial. Before discussing the
classification, let us have a look at the degree of a polynomial.
The degree of a
polynomial is the highest power of the variable in a polynomial.
For example, 5x2+ 2x+7
एक चर में बहुपद को बहुपद की डिग्री के आधार पर वर्गीकृत
किया जा सकता है। वर्गीकरण पर चर्चा करने से पहले, आइए हम एक
बहुपद की डिग्री पर एक नज़र डालें। एक बहुपद की डिग्री एक बहुपद में चर की उच्चतम शक्ति
है।
उदाहरण के लिए, 5x2+ 2x+7
The degree of a polynomial is 2, as
the highest power of the variable “x” in a polynomial is 2.
Based on the degree of a polynomial,
the polynomials in one variable is classified as follows:
एक बहुपद की डिग्री 2 है, क्योंकि एक बहुपद में
चर "x" की उच्चतम शक्ति 2 है। एक बहुपद
की डिग्री के आधार पर, एक चर में बहुपद को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जाता
है:
v Zero polynomial or constant
polynomial
v Linear Polynomial
v Quadratic Polynomial
v Cubic Polynomial
ü शून्य बहुपद या स्थिर बहुपद
ü रैखिक बहुपद
ü द्विघात बहुपद
ü घन बहुपद
4.1 Zero Polynomial or Constant
Polynomial
If the degree of the polynomial is zero
(0), then the polynomial is called zero or constant polynomial. Such kinds of
polynomials have only constants. They don’t have variables.
The examples of constant polynomials
are 2, 5, 7 and so on.
Here, 2 can be written as 2x0, 5 can
be written as 5x0, and so on.
यदि बहुपद की डिग्री शून्य (0) है, तो बहुपद को शून्य या
स्थिर बहुपद कहा जाता है। इस प्रकार के बहुपदों में केवल स्थिरांक होते हैं। उनके पास
चर नहीं हैं। निरंतर बहुपद के उदाहरण 2, 5, 7 और इतने
पर हैं। यहां, 2 को 2x0 के रूप में लिखा जा सकता
है, 5 को 5x0 के रूप में लिखा जा सकता
है, और इसी तरह।
4.2.Linear Polynomial
If the degree of the polynomial is 1
(one), then the polynomial is called a linear polynomial. The linear polynomial
in one variable has only one solution.
Examples of linear polynomials in one
variable are:
यदि बहुपद की डिग्री 1 (एक) है, तो बहुपद को रैखिक बहुपद
कहा जाता है। एक चर में रैखिक बहुपद में केवल एक समाधान होता है। एक चर में रैखिक बहुपद
के उदाहरण हैं:
m+2
y+5
x+10
4.3. Quadratic Polynomial
A polynomial with the highest degree
of 2 is called a quadratic polynomial. A quadratic polynomial in one variable
has only two solutions. Some of the examples of quadratic polynomials in one
variable are:
2 की उच्चतम डिग्री के साथ एक बहुपद को एक द्विघात बहुपद
कहा जाता है। एक चर में एक द्विघात बहुपद में केवल दो समाधान होते हैं। एक चर में द्विघात
बहुपद के कुछ उदाहरण हैं:
9x2 – 10
x2 +5x+9
m2+25
4.4 Cubic Polynomial
If the highest exponent of a variable
in a polynomial is 3 (i.e. degree of a polynomial is 3), then the polynomial is
called a cubic polynomial. A cubic polynomial in one variable has exactly 3
solutions. The examples of a cubic polynomial in one variable are:
यदि एक बहुपद में एक चर का उच्चतम घातांक 3 है (यानी एक बहुपद की डिग्री 3 है), तो बहुपद को घन बहुपद
कहा जाता है। एक चर में एक घन बहुपद में वास्तव में 3 समाधान होते हैं। एक चर में एक घन बहुपद के उदाहरण
हैं:
7x3 – 21
8x3 + 2x+9
10m3 + (5/4)
Monomial
A monomial is
an algebraic expression that has only one term. A monomial is one term and can
be a number, a variable, or the product of a number and variables with an
exponent.
The
number part of the term is called the coefficient.
The coefficient
can be any real number, including 0. The exponent of the variable must be a
whole number—0, 1, 2, 3, and so on. (see
the figurebelow)
Note: A monomial cannot have a
variable in the denominator or a negative exponent.
एक मोनोमियल एक बीजीय अभिव्यक्ति है जिसमें
केवल एक शब्द होता है। एक मोनोमियल एक शब्द है और एक संख्या, एक चर, या एक घातांक के साथ एक संख्या और चर का
उत्पाद हो सकता है। शब्द के संख्या भाग को
गुणांक कहा जाता है। गुणांक 0 सहित
कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। चर का प्रतिपादक एक पूर्ण संख्या होना चाहिए-0,
1, 2, 3, और इसी तरह। (नीचे दिए
गए चित्र देखें)
नोट: एक मोनोमाइल में हर या नकारात्मक घातांक में एक चर नहीं हो सकता है।
Monomial,
Bionomial, Trinomial के बीच अंतर
5. How to Find a Monomial?
A monomial can
be easily identified with the help of the following properties:
Ø A
monomial expression must have a single non-zero term.
Ø The
exponents of the variables must be non-negative integers.
Ø There
should not be any variable in the denominator.
Let us look at
the following examples to identify monomials.
5. कैसे एक Monomial
खोजsa?
एक मोनोमियल को निम्नलिखित गुणों की मदद से आसानी से पहचाना जा सकता है:
ü एक मोनोमियल अभिव्यक्ति में एक एकल गैर-शून्य शब्द होना चाहिए।
ü चर के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
ü हर में कोई चर नहीं होना चाहिए।
आइए हम मोनोमियल्स की पहचान करने के लिए निम्नलिखित उदाहरणों को देखें।
|
Expression |
Is it a monomial? |
If not, why? |
|
3x2y |
ü
Yes |
- |
|
3y/2 |
ü Yes |
- |
|
3x2 + y |
Ø
No |
It has two terms: 3x2, and y |
|
3x¾ |
Ø No |
The exponent
of the variable is not an integer |
|
7x |
Ø
No |
The variable is an exponent |
|
8x/y |
Ø No |
The
denominator has a variable |
6. Monomial Binomial Trinomial
If we observe
the third example in the table given above, that is, 3x2 + y,
we see that it has 2 terms. An expression having two terms is called
a binomial. Similarly, an expression having three terms is called a trinomial. For
example, 4x2 + 2y + 6z is a trinomial. It is important to note
that monomial, binomial, and trinomial are all types of polynomials. Look
at the above images given to understand
the difference between monomial, binomial, and trinomial.
6. मोनोमियाल
द्विपद त्रिनामीय
यदि हम ऊपर दी गई तालिका में तीसरे
उदाहरण का अवलोकन करते हैं, अर्थात्,
3x2 + y, तो
हम देखते हैं कि इसमें 2 पद
हैं। दो शब्दों वाली अभिव्यक्ति को द्विपद कहा जाता है। इसी प्रकार, तीन पदों वाले एक व्यंजक को त्रिनामीय
कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 4x2 + 2y + 6z एक त्रिकोणीय है। यह ध्यान रखना
महत्वपूर्ण है कि मोनोमियल, द्विपद
और त्रिपद सभी प्रकार के बहुपद हैं। . मोनोमियल, द्विपद और त्रिपद के बीच के अंतर को
समझने के लिए दी गई उपरोक्त छवियों को देखें।
7. Theorems:
7.1. Remainder Theorem :
Let p(x) be any
polynomial of degree greater than or equal to one and let a be any real number.
If p(x) is divided by the linear polynomial x – a, then the remainder is p(a).
Proof : Let p(x) be
any polynomial with degree greater than or equal to 1. Suppose that when p(x)
is divided by x – a, the quotient is q(x) and the remainder is r(x), i.e.,
p(x)
= (x – a) q(x) + r(x)
शेषफल प्रमेय: माना कि p(x) एक से अधिक या बराबर
डिग्री का कोई बहुपद है और माना कि a कोई वास्तविक संख्या है। यदि p(x) को रैखिक बहुपद x
– a से विभाजित किया
जाता है, तो
शेषफल p(a) है। प्रमाण: मान लीजिए कि p(x) 1 से अधिक या बराबर डिग्री के साथ कोई बहुपद
है। मान लीजिए कि जब p(x) को x – a से विभाजित किया जाता है, तो भागफल q(x) है और शेषफल r(x) है, अर्थात्, p(x) = (x – a) q(x) +
r(x)
Since the degree of
x – a is 1 and the degree of r(x) is less than the degree of x – a,
the degree of r(x) =
0. This means that r(x) is a constant, say r.
So, for every value
of x, r(x) = r.
Therefore, p(x) = (x – a) q(x) + r
In particular, if x
= a, this equation gives us
p(a)
= (a – a) q(a) + r
=
r,
which proves the theorem.
चूँकि x – a की डिग्री 1 है और r(x) की डिग्री x – a की डिग्री से कम है, इसलिए r(x) =
0 की डिग्री। इसका
मतलब है कि r(x) एक स्थिरांक है, कहते हैं r। इसलिए, x के प्रत्येक मान के लिए, r(x) = r। इसलिए, p(x) = (x – a) q(x) + r विशेष रूप से,
यदि x = a है, तो यह समीकरण हमें p(a)
= (a – a) q(a) + r = r देता है, जो प्रमेय को साबित करता है।
Let us use this
result in another example.
Example 1: Find the
remainder when x 4 + x 3 – 2x 2 + x + 1 is
divided by x – 1.
Solution : Here, p(x) = x 4
+ x 3 – 2x 2 + x + 1, and the zero of x – 1 is 1.
So, p(1) = (1)4 + (1)3 – 2(1)2
+ 1 + 1
= 2
So, by the Remainder
Theorem, 2 is the
remainder when x4 + x3 – 2x2 + x + 1 is
divided by x – 1.
So, by the Remainder
Theorem, 2 is the
remainder when x 4 + x 3 – 2x 2 + x + 1 is
divided by x – 1.
Factorisation of Polynomials:
7.2.Factor Theorem : If p(x)
is a polynomial of degree n > 1 and a is any real number,
then (i) x – a is a
factor of p(x), if p(a) = 0, and (ii) p(a) = 0, if x – a is a factor of p(x)
गुणनखंड प्रमेय: यदि p(x) डिग्री n
> 1 का
बहुपद है और a कोई वास्तविक संख्या है, तो (i) x – a, p(x) का गुणक है, यदि p(a) =
0, और (ii)
p(a) = 0, यदि x
– a, p(x) का गुणक
है
Algebraic
Identities
8. Algebraic Identities: Definition
Algebraic identities
are algebraic equations that are true for all the values of variables in them.
Algebraic identities and expressions are mathematical equations that comprise
numbers, variables (unknown values), and mathematical operators (addition,
subtraction, multiplication, division, etc.)
बीजीय पहचान बीजीय समीकरण हैं जो उनमें चर
के सभी मूल्यों के लिए सही हैं। बीजीय पहचान और अभिव्यक्तियां गणितीय समीकरण हैं
जिनमें संख्याएं, चर (अज्ञात मान), और गणितीय ऑपरेटर (जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन, आदि) शामिल हैं।
Algebraic identities are used in
various branches of mathematics, such as algebra, geometry, trigonometry etc.
These are mainly used to find the factors of the polynomials. A better
understanding of algebraic identities contributes toward strengthening the
efficiency to solve problem sums. One of the most important applications of
algebraic identities is the factorisation of polynomials.
बीजगणितीय पहचान का उपयोग गणित की विभिन्न
शाखाओं में किया जाता है, जैसे कि बीजगणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति आदि। इनका उपयोग मुख्य रूप से
बहुपद के कारकों को खोजने के लिए किया जाता है। बीजीय पहचान की बेहतर समझ समस्या
को हल करने के लिए दक्षता को मजबूत करने की दिशा में योगदान देती है। बीजीय पहचान
के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक बहुपद का गुणनखंडन है।
What
are Algebraic Identities?
If an equation is true for all values of the
variables in it, it is called an identity. The algebraic identities are the
equations in which the value of the left-hand side of an equation identically
equals the value of the right-hand side of the equation for all values of the
variable.
यदि कोई समीकरण इसमें चर के सभी मानों के लिए
सही है, तो इसे पहचान कहा जाता है। बीजीय पहचान वे समीकरण हैं जिनमें एक समीकरण
के बाईं ओर का मान समान रूप से चर के सभी मूल्यों के लिए समीकरण के दाईं ओर के मान
के बराबर होता है।
Example:
Consider the linear equation ax+b=0.ax+b=0.
Here, the left-hand side and right-hand side of the above equations are the
same when x=–ba.x=–ba. Hence, it is not identity, but it is an
equation.
In (a+b)2=a2+b2+2ab,(a+b)2=a2+b2+2ab, we
know that it is true for all values of
variables aa and b.b. So, it is an identity.
उदाहरण: रैखिक समीकरण ax+b=0.ax+b=0
पर विचार
करें. यहाँ, उपर्युक्त समीकरणों के बाएं हाथ की ओर और दाएं हाथ की ओर समान हैं जब x
= –ba.x = –ba । इसलिए, यह पहचान नहीं है, लेकिन यह एक समीकरण है।
(a+b)2=a2+b2+2ab,(a+b)2=a2+b2+2ab
में,
हम जानते
हैं कि यह चर aa और b.b के सभी मानों के लिए सत्य है। इसलिए, यह एक पहचान है।
Polynomial Identities (Simple):
(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2
(a − b)2 =
a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) =
a2 − b2
(x + a)(x + b) = x2 + x(a + b) + ab
Apart from these
simple polynomial identities listed above, there are other identities
of polynomials. Here are some most commonly used identities of
polynomials:
ऊपर सूचीबद्ध इन सरल बहुपद पहचानों के अलावा,
बहुपद की
अन्य पहचानें हैं। यहां बहुपद की कुछ सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली पहचान दी गई हैं:
(a + b +
c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 =
a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
(a)3 +
(b)3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
(a)3 −
(b)3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
(a)3 +
(b)3 + (c)3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab −
bc−ca)
9. Mostly asked questions:
9. ज्यादातर पूछे जाने वाले प्रश्न:
What is meant by a polynomial in one variable?
एक चर में बहुपद का क्या अर्थ है?
A polynomial in
one variable is an algebraic expression with only one variable.
एक चर में एक बहुपद केवल एक चर के साथ एक
बीजीय अभिव्यक्ति है।
Define the degree of a polynomial.
The degree of a
polynomial is the highest power of the variable in a polynomial.
एक बहुपद की डिग्री एक बहुपद में चर की उच्चतम
शक्ति है।
Give an example of a polynomial in one variable.
An example of a
polynomial in one variable is x2+9.
एक चर में बहुपद का एक उदाहरण x2
+ 9 है।
Is 60 a constant polynomial?
Yes, 60 is a
constant polynomial. The number 60 can be written as 60×0. As the exponent is
0, 60 is a zero or constant polynomial.
क्या 60 एक स्थिर बहुपद है?
हाँ, 60 एक स्थिर बहुपद है। 60 नंबर को 60×0 के रूप में लिखा जा सकता है। जैसा कि घातांक
0 है, 60 एक शून्य या स्थिर बहुपद है।
Can a polynomial have a negative exponent?
No, a polynomial
cannot have a negative exponent.
क्या एक बहुपद में नकारात्मक घातांक हो सकता
है?
नहीं, एक बहुपद में एक नकारात्मक घातांक नहीं हो
सकता है।
What are Algebraic Identities?
If an equation is true for all
values of the variables in it, it is called an identity. The algebraic
identities are the equations in which the value of the left-hand side of an
equation identically equals the value of the right-hand side of the equation
for all values of the variable.
यदि कोई
समीकरण इसमें चर के सभी मानों के लिए सही है, तो इसे पहचान कहा जाता है। बीजीय पहचान वे समीकरण हैं जिनमें
एक समीकरण के बाईं ओर का मान समान रूप से चर के सभी मूल्यों के लिए समीकरण के दाईं
ओर के मान के बराबर होता है।
***
यदि कोई
समीकरण इसमें चर के सभी मानों के लिए सही है, तो इसे पहचान कहा जाता है। बीजीय पहचान वे समीकरण हैं जिनमें
एक समीकरण के बाईं ओर का मान समान रूप से चर के सभी मूल्यों के लिए समीकरण के दाईं
ओर के मान के बराबर होता है।
***
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